买卖股票的最佳时机是一个经典的动态规划问题，它要求我们找到在给定的股票价格序列中买卖股票以获得最大利润的最佳策略。

子 1：问题定义

给定一个长度为 n 的数组 prices，其中 prices[i] 表示第 i 天股票的价格。我们只能买卖一次股票，即买入股票并随后在以后的某一天卖出。我们的目标是找到买入和卖出股票的最佳时机，以获得最大的利润。

子 2：动态规划解决方案

我们可以使用动态规划来解决这个问题。我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示在第 i 天结束时持有或不持有股票时，前 j 天获得的最大利润。

状态转移方程：

• dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])：如果第 i 天不持有股票，那么第 i 天结束时的最大利润要么是第 i-1 天结束时的最大利润，要么是第 i-1 天持有股票并第 i 天卖出的利润。
• dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])：如果第 i 天持有股票，那么第 i 天结束时的最大利润要么是第 i-1 天持有股票的利润，要么是第 i-1 天不持有股票并在第 i 天买入股票的利润。

初始化：

• dp[0][0] = 0：第 0 天不持有股票的利润为 0。
• dp[0][1] = -prices[0]：第 0 天持有股票的利润为 -prices[0]，因为我们必须在第 0 天买入股票。

子 3：代码实现

```java

public int maxProfit(int[] prices) {

int n = prices.length;

int[][] dp = new int[n][2];

dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
    dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
    dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n-1][0];

}

```

时间复杂度：O(n)，其中 n 是股票价格序列的长度。

空间复杂度：O(n)。

示例：

给定股票价格序列 prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4]，最佳买卖时机为在第 2 天买入并在第 5 天卖出，最大利润为 5。

扩展：

• 买卖股票的最佳时机 II：允许多次买卖股票。
• 买卖股票的最佳时机 III：最多允许买卖股票两次。
• 买卖股票的最佳时机 IV：给定交易费用，求最大利润。